比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。
解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1。
函数的值域为{z|z≥1}.
点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。
练习:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})
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